（1）已知函数f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值为m，实数a，b，c，n，

问题解答题

（1）已知函数f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值为m，实数a，b，c，n，p，q
满足a²+b²+c²=n²+p²+q²=m．
（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求证：

≥2．
（2）已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

x=2tcosθ

y=2sinθ

（t为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin(θ-

)=2

．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；
（Ⅱ）是否存在实数t，使得直线l与曲线C有两个不同的公共点A、B，且

•

=10（其中O为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由．

答案

（1）（Ⅰ）解法一：f(x)=|x-2|+|x-4|=

2x-6(x≥4)

2(2＜x＜4)

-2x+6(x≤2)

，可得函数的最小值为2．故m=2．

法二：f（x）=|x-2|+|x-4|≥|（x-2）-（x-4）|=2，

当且仅当2≤x≤4时，等号成立，故m=2．

（Ⅱ）证明：∵[(

)2+(

)2]•(a2+b2+c2)≥(

•a+

•b+

•c)2

∴(

)×2≥（n²+p²+q²）²=4，故

≥2．

（2）（Ⅰ）∵t≠0，∴可将曲线C的方程化为普通方程：

+y2=4．…1分

①当t=±1时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆； …2分

②当t≠±1时，曲线C为中心在原点的椭圆．…3分

（Ⅱ）直线l的普通方程为：x-y+4=0．…4分

联立直线与曲线的方程，消y得

+(x+4)2=4，化简得（1+t²）x²+8t²x+12t²=0．

若直线l与曲线C有两个不同的公共点，则△=64t⁴-4（1+t²）•12t²＞0，解得t²＞3．

又x1+x2=-

8t2

1+t2

，x1x2=

12t2

1+t2

，…6分

故

•

=x1x2+y1y2=x1x2+(x1+4)(x2+4)=2x₁x₂+4（x₁+x₂）+16=10．

解得t²=3与t²＞3相矛盾．故不存在满足题意的实数t．…7分．