问题
解答题
已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A（-1，0），B（1，0），一个顶点为H（2，0）．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）对于x轴上的点P（t，0），椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．
答案
（1）由题意得，c=1，a=2，则b=3
故所求的椭圆标准方程为
+x2 4
=1；y2 3
（2）设M（x0，y0）（x0≠±2），则
+x02 4
=1 ①y02 3
又由P（t，0），H（2，0）．则
=(t-x0，-y0)，MP
=(2-x0，-y0)MH
由MP⊥MH可得
•MP
=0，即（t-x0，-y0）•（2-x0，-y0）=(t-x0)•(2-x0)+y02=0MH
由①②消去y0，整理得t(2-x0)=-
x02+2x0-3 ②1 4
∵x0≠2，∴t=
x0-1 4 3 2
∵-2＜x0＜2，∴-2＜t＜-1
故实数t的取值范围为（-2，-1）．