因为点A（4，3）在双曲线

x2

4

-

y2

3

=1的右支上，且不是右顶点，

所以要使过A（4，3）的直线与双曲线

x2

4

-

y2

3

=1只有一个公共点，

则直线L的斜率存在且不等于0，设其斜率为k，

则L的方程为y-3=k（x-4），

联立

y-3=k(x-4) x2 4 - y2 3 =1

，得（3-4k²）x²+（32k²-24k）x-64k²+96k-48=0．

当3-4k²≠0时，

由△=（32k²-24k）²-4（3-4k²）（-64k²+96k-48）

=1024k⁴-1536k³+576k²+768k²-1152k+576-1024k⁴+1536k³-768k²

=576k²-1152k+576=0，得k=1．

所以过点A（4，3）与双曲线

x2

4

-

y2

3

=1相切的直线一条；

当3-4k²=0，即k=±

3

2

时，过点A（4，3）与双曲线

x2

4

-

y2

3

=1相交于一点的直线有两条，它们是平行于双曲线渐近线的两条直线．

综上，直线L的条数是3．

故选C．