问题
解答题
在数列{an}中，a1=5，an+1=3an-4n+2，其中n∈N*．
（1）设bn=an-2n，求数列{bn}的通项公式；
（2）记数列{an}的前n项和为Sn，试比较Sn与n2+2011n的大小．
答案
（1）由an+1=3an-4n+2得an+1-2（n+1）=3（an-2n），
又a1-2=1≠0，an-2n≠0，得
=3，an+1-2(n+1) an-2n
所以，数列{an-2n}是首项为3，公比为3的等比数列，
所以，bn=3n．
（2）an-2n=3n⇒an=2n+3n，Sn=
(3n-1)+n(n+1)，Sn-(n2+2011n)=3 2
(3n-1)-2010n=3 2
(3n-1340n-1)．3 2
设cn=3n-1340n-1，
由于cn+1-cn=2•3n-1340
当n＜6时，cn+1＜cn
当n≥6时，cn+1＞cn
即，当n＜6时，数列{cn}是递减数列，当n≥6时，数列{cn}是递增数列
又c1=-4018＜0，c8=-4160＜0，c9=7622＞0
所以，当n≤8时，Sn＜n2+2011n；
所以，当n＞8时，Sn＞n2+2011n．