问题
解答题
| 在数列{an}中，a1=3，a2=3，且数列{an+1+an}是公比为2的等比数列，数列{an+1-an}是公比为-1的等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求证：当k为正奇数时，
（3）求证：当n∈N+时，
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答案
（1）在数列{an}中，a1=3，a2=3，
∵数列{an+1+an}是公比为2的等比数列，
∴an+1+an=（a2+a1）•2n-1=3•2n，①
∵数列{an+1-2an}是公比为-1的等比数列，
∴an+1-2an=（a2-2a1）（-1）n-1=3（-1）n，②
①-②得3an=3•2n+3•（-1）n-1，
∴an=2n+（-1）n-1…（5分）
（2）证明：当k为正奇数时，
+1 ak
=1 ak+1
+1 2k+1 1 2k+1-1
=
＜3•2k 22k+1+2k-1
，3 2k+1
∴当k为正奇数时，
+1 ak
＜1 ak+1
…（8分）3 2k+1
（3）证明：当n∈N*时，
∵
+1 ak
＜1 ak+1
，3 2k+1
∴
+1 a1
+1 a2
+…+1 a3 1 a2n-1
=(
+1 a1
)+(1 a2
+1 a3
)+…+(1 a4
+1 a2n-1
)1 a2n
＜
+3 2 2
+…+3 2 4 3 2 2n
=3×
(1-1 4
) 1 4n 1- 1 4
=1-
＜1．1 4n