已知等比数列{an}中，a1+a3=10，前4项和为40．（1）求数列{an}

问题解答题

已知等比数列{a_n}中，a₁+a₃=10，前4项和为40．

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）若等差数列{b_n}的各项为正，其前n项和为T_n，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n．

答案

（1）设等比数列{a_n}的公比为q，则

a1+a1q2=10

a1+a1q+a1q2+a1q3=40

∴

a1=1

q=3.

∴a_n=a₁q^n-1=3^n-1．

∴等比数列{a_n}的通项公式为a_n=3^n-1．

（2）设等差数列{b_n}的公差为d，则T₃=b₁+b₂+b₃=3b₂=15，

∴b₂=5．

又∵a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，

∴（a₂+b₂）²=（a₁+b₁）（a₃+b₃），

即（3+5）²=（1+b₁）（9+b₃），

64=（6-d）（14+d）．

∴d=-10或d=2．

∴

b1=15

d=-10

（舍去）或

b1=3

d=2.

∴Tn=nb1+

n(n-1)

d=3n+

n(n-1)

×2=n2+2n．