A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

∵

AF

=3

FB

，∴y₁=-3y₂，

∵e=

3

2

，设a=2t，c=

3

t，b=t，

∴x²+4y²-4t²=0①，

设直线AB方程为x=sy+

3

t，代入①中消去x，可得(s2+4)y2+2

3

sty-t2=0，

∴y1+y2=-

2 3 st

s2+4

，y1y2=-

t2

s2+4

，-2y2=-

2 3 st

s2+4

，-3

y

22

=-

t2

s2+4

，

解得s2=

1

2

，k=

2

故选B