已知数列{an}的前n项和Sn，对一切正整数n，点（n，Sn）都在函数f

问题解答题

已知数列{a_n}的前n项和S_n，对一切正整数n，点（n，S_n）都在函数f（x）=2^x+2-4的图象上．

（I）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）设b_n=a_n•log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

答案

（I）由题意，S_n=2ⁿ⁺²-4，n≥2时，

a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺²-2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹

当n=1时，a₁=S₁=2³-4=4，也适合上式

∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ⁺¹，n∈N^*；

（II）∵b_n=a_nlog₂a_n=（n+1）•2ⁿ⁺¹，

∴T_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹①

2T_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+n•2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²②

②-①得，T_n=-2³-2³-2⁴-2⁵-…-2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²

=-23-

23(1-2n-1)

1-2

+(n+1)•2n+2

=-2³-2³（2^n-1-1）+（n+1）•2ⁿ⁺²=（n+1）•2ⁿ⁺²-2³•2^n-1

=（n+1）•2ⁿ⁺²-1ⁿ⁺²=n•2ⁿ⁺²．