已知点（1，2）是函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）的图象上一点，数列{an}

问题解答题

已知点（1，2）是函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的图象上一点，数列{a_n}的前n项和是S_n=f（n）-1．

（I）求数列{a_n}的通项公式；

（II）若b_n=log_aa_n+1，求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

答案

（I）把点（1，2）代入函数f（x）=a^x得a=2，

所以数列{a_n}的前n项和为S_n=f（n）-1=2ⁿ-1

当n=1时，a₁=S₁=1

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1

对n=1时也适合∴a_n=2^n-1

（II）由a=2，b_n=log_aa_n+1得b_n=n，

所以a_nb_n=n•2^n-1

T_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1①

2T_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ②

由①-②得：-T_n=2⁰+2¹+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ

所以T_n=（n-1）2ⁿ+1．