问题
解答题
已知双曲线C的中心在原点，抛物线y2=8x的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线过点C（
（1）求双曲线C的方程； （2）设双曲线C的左顶点为A，右焦点为F，在第一象限内任取双曲线上一点P，试问是否存在常数λ（λ＞0），使得∠PFA=λ∠PAF恒成立？并证明你的结论． |
答案
（1）抛物线焦点为F（2，0），设双曲线方程为
-x2 4-b2
=1，将点（y2 b2
，2
）代入得b2=3，3
所以双曲线方程为x2-
=1．y2 3
（2）当PF⊥x轴时，P（2，3），|AF|=1+2=3，∴∠PFA=90°，∠PAF=45°，此时λ=2．
以下证明当PF与x轴不垂直时∠PFA=2∠PAF成立．
设P（x0，y0），则kPA=tan∠PAF=
，kPF=-tan∠PFA=y0 x0+1
．y0 x0-2
tan2∠PAF=
=2kPA 1-kPA2
．由2(x0+1)y0 (x0+1)2-y02
-x 20 1 3
=1得y02=3（x02-1）代入上式，y 20
得tan2∠PAF=
=-2y0 x0+1-3(x0-1)
=tan∠PFA恒成立．∵∠PFA∈(0，y0 x0-2
)∪(π 2
，π 2
)，∠PAF∈(0，2π 3
)∪(π 4
，π 4
)，∴∠PFA=2∠PAF恒成立．π 3