问题
解答题
已知函数f(x)=a·4x-2x+1+a+3。
（1）若a=0，解方程f(2x)=-5；
（2）若a=1，求f(x)的单调区间；
（3）若存在实数x0∈[-1，1]，使f(x0)=4，求实数a的取值范围。
答案
解：（1）若a=0，由f(2x)=-5，即
，解得：x=1。
（2）若a=1，则
，
设
，且
，
则
，
①当
时，有
，
∴
，∴
，
∴f(x)在[0，+∞)上是增函数；
②当
时，有
，
∴
，∴
，
∴f(x)在(-∞，0]上是减函数；
∴f(x)的单调增区间是[0，+∞)，单调减区间是(-∞，0]。
（3）设
，由
，得
，
且
，
∴存在
，使得
，即
，
令
，
若a≠0，则函数g(t)的对称轴是
，
由已知得：方程g(t)=0在
上有实数解，
∴
， ①
或
， ②
由不等式①得：
，∴
，
由不等式组②得：
，∴
，
所以，实数a的取值范围是
。