问题
解答题
| 设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+1=pSn+q（p，q为常数，n∈N*），如果：a1=2，a2=1，a3=q-3p． （1）求p，q的值； （2）求数列{an}的通项公式； （3）是否存在正整数m，n，使
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答案
（1）由题意，知
即S2=pa1+q S2=pS2+q
，解之得3=2p+q 3+q-3p=3p+q
…（4分）p= 1 2 q=2
（2）由（1）知，Sn+1=
Sn+2，①1 2
当n≥2时，Sn=
Sn-1+2，②1 2
①-②得，an+1=
an（n≥2），…（6分）1 2
又a2=
a1，所以数列{an}是首项为2，公比为1 2
的等比数列，1 2
所以an=
．…（8分）1 2n-2
（3）由（2）得，Sn=
=4(1-2(1-
)1 2n 1- 1 2
)，1 2n
由
＜Sn-m Sn+1-m
，得2m 2m+1
＜4(1-
)-m1 2n 4(1-
)-m1 2n+1
，即2m 2m+1
＜2n(4-m)-4 2n(4-m)-2
，…（10分）2m 2m+1
即
＞2 2n(4-m)-2
，1 2m+1
因为2m+1＞0，所以2n（4-m）＞2，
所以m＜4，且2＜2n（4-m）＜2m+1+4，①
因为m∈N*，所以m=1或2或3．…（12分）
当m=1时，由①得，2＜2n×3＜8，所以n=1；
当m=2时，由①得，2＜2n×2＜12，所以n=1或2；
当m=3时，由①得，2＜2n＜20，所以n=2或3或4，
综上可知，存在符合条件的所有有序实数对（m，n）为：（1，1），（2，1），（2，2），（3，2），（3，3），（3，4）．…（16分）