已知{an}为递增的等比数列，且{a1，a3，a5}⊂{-10，-6，-2，0，

问题解答题

已知{a_n}为递增的等比数列，且{a₁，a₃，a₅}⊂{-10，-6，-2，0，1，3，4，16}．

（I）求数列{a_n}的通项公式；

（II）是否存在等差数列{b_n}，使得a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2对一切n∈N*都成立？若存在，求出b_n；若不存在，说明理由．

答案

（I）因为{a_n}是递增的等比数列，所以数列{a_n}公比q＞0，首项a₁＞0，

又{a₁，a₃，a₅}⊂{-10，-6，-2，0，1，3，4，16}，

所以a₁=1，a₃=4，a_s=16（3分）

从而q2=

=4，q=2，a_n=a₁q^n-1=2^n-1

所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1（6分）

（II）假设存在满足条件的等整数列{b_n}，其公差为d，则当n=1时，a₁b₁=1，

又∵a₁=1，∴b₁=1；

当n=2时，a₁b₂+a₂b₁=4，b₂+2b₁=4，b₂=2

则d=b₂-b₁=1，∴b_n=b₁+（n-1）d=1+（n-1）×1=n（8分）

以下证明当b_n=n时，a₁b_n+a₂b_n-1++a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2对一切n∈N*都成立．

设S_n=a₁b_n+a₂b_n-1+…+a_n-1b₂+a_nb₁，

即S_n=1×n+2×（n-1）+2²×（n-2）+2³×（n-3）+…+2^n-2×2+2^n-1×1，（1）

2S_n=2×n+2²×（n-1）+2³×（n-2）+…+2^n-1×2+2ⁿ×1，（2）

（2）-（1）得S_n=-n+2+2²+2³++2^n-1+2ⁿ=-n+

2(1-2n)

1-2

=2n+1-n-2，

所以存在等差数列{b_n}，b_n=n使得a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2对一切n∈N*都成立（12分）