问题
解答题
给定椭圆C：
（1）求椭圆C及其“伴随圆”的方程； （2）若过点P（0，m）（m＜0）的直线与椭圆C只有一个公共点，且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2
（3）过椭圆C的“伴椭圆”上一动点Q作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个公共点，当直线l1，l2都有斜率时，试判断直线l1，l2的斜率之积是否为定值，并说明理由． |
答案
（1）由题意可知：c=
，a=2
，∴b2=a2-c2=1．3
∴椭圆方程为：
+y2=1，x2 3
=2；a2+b2
∴椭圆C的“伴椭圆”方程为：x2+y2=4．
（2）设直线方程为：y=kx+m
∵截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2
，2
∴圆心到直线的距离d=
，|m| 1+k2
∵d2+(
)2=r2，∴d2=2，∴m2=2（1+k2）．（*）2
又
得（1+3k2）x2+6mkx+3m2-3=0，x2+3y2=3 y=kx+m
∵直线l与椭圆相切，
∴△=1+3k2-m2=0，
把（*）代入上式得m2=4，∵m＜0，解得m=-2．
∴m=-2．
（3）设Q（x0，y0），直线y-y0=k（x-x0），
由（2）可知1+3k2-m2=1+3k2-(y0-kx0)2=0，
即(3-
)k2+2y0x0k+1-x 20
=0，∴k1k2=y 20
，1- y 20 3- x 20
又∵Q（x0，y0）在“伴椭圆”上，∴
+x 20
=4，∴3-y 20
=x 20
-1．y 20
∴k1k2=-1为定值．