问题
解答题
已知数列{an}满足a1=3，
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式． （Ⅱ）若（4n-1）an≥t•2n+1-17对任意n∈N*恒成立，求实数t的取值范围； （Ⅲ）记cn=
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答案
（Ⅰ）∵
=an(n∈N*)，∴bn=2-2an+1 an+1-3
=an-2 an+1
=4bn+1，4(an+1-2) an+1+1
∴
=bn+1 bn 1 4
∵a1=3，b1=1 4
∴数列{bn}是以
为首项，1 4
为公比的等比数列1 4
∴bn=
；1 4n
（Ⅱ）∵bn=
，∴an=an-2 an+1 2•4n+1 4n-1
∵（4n-1）an≥t•2n+1-17对任意n∈N*恒成立，
∴t≤
=2n+4n+9 2n
对任意n∈N*恒成立9 2n
∵y=m+
(m＞0)在（0，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增9 m
∴(2n+
)min=min{2+9 2n
，4+9 2
}=9 4 25 4
∴t≤25 4
∴实数t的取值范围是(-∞，
]；25 4
（Ⅲ）∵cn=
=1-3 an+1
，1 4n
猜想(1-
)(1-1 4
) … (1-1 42
)≥1-(1 4n
+1 4
+ …+1 42
)1 4n
用数学归纳法证明：
①n=1时，左边=
=右边；n=2时，左边=3 4
，右边=45 64
，左边＞右边；11 16
②假设n=k（k≥2）时结论成立，即(1-
)(1-1 4
) … (1-1 42
)≥1-(1 4k
+1 4
+ …+1 42
)1 4k
则n=k+1时，左边=(1-
)(1-1 4
) … (1-1 42
)(1-1 4k
)≥[1-(1 4k+1
+1 4
+ …+1 42
)](1-1 4k
)1 4k+1
＞1-(
+1 4
+ …+1 42
)=右边1 4k+1
由①②知，猜想(1-
)(1-1 4
) … (1-1 42
)≥1-(1 4n
+1 4
+ …+1 42
)成立1 4n
又
+1 4
+ …+1 42
＜1 4n
=1 4 1- 1 4 1 3
∴c1•c2•c3…cn=(1-
)(1-1 4
) … (1-1 42
)≥1-(1 4n
+1 4
+ …+1 42
)＞1-1 4n
＞1 3 7 12
∴c1•c2•c3…cn＞7 12