问题
解答题
| 已知直线l：y=2x-2与抛物线M：y=x2的切线m平行 （I）求切线m的方程和切点A的坐标 （II）若点P是直线l上的一个动点，过点P作抛物线M的两条切线，切点分别为B，C，同时分别与切线m交于点E，F试问
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答案
（I）设切点A(x0，x02)，切线斜率k=2x0，
∴2x0=2，x0=1
∴A（1，1），切线m的方程为y=2x-1；
（II）设P（s，t），切点B(x1，x12)，C(x2，x22)，
∵y′=2x，
∴切线PB，PC的方程分别是y=2x1x-x12，y=2x2x-x22
联立方程组
，得交点P（y=2x1x-x12 y=2x2x-x22
，x1x2），即x1+x2 2 s= x1+x2 2 t=x1x2
∵点P在直线l：y=2x-2上，即t=2s-2，2s-t=2
又∵直线BC的方程为y=（x1+x2）x-x1x2=2sx-t
∴点A（1，1）到直线BC的距离d=
=|2s-1-t| 1+4s2 1 1+4s2
又由
得x2-2sx+t=0．y=2sx-t y=x2
∴|BC|=
|x1-x2|．1+4s2
∴S△ABC=
|BC|d=1 2
|x1-x2| 1 2
联立方程组
，得交点E(y=2x1x-x12 y=2x-1
，x1)，x1+1 2
联立方程组
，得交点F(y=2x2x-x22 y=2x-1
，x2)．x2+1 2
∴|EF|=
=(
-x1+1 2
)2+(x1-x2)2x2+1 2
|x1-x2|5 2
∴
=S△ABC |EF|
=
|x1-x2|1 2
|x1-x2|5 2
．5 5