已知数列（an}为Sn且有a1=2，3Sn=5an-an-1+3Sn-1 （n≥

问题解答题

已知数列（a_n}为S_n且有a₁=2，3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1 （n≥2）

（I）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）若b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}前n和T_n

（Ⅲ）若c_n=tⁿ[lg（2t）ⁿ+lga_n+2]（0＜t＜1），且数列{c_n}中的每一项总小于它后面的项，求实数t取值范围．

答案

（Ⅰ）3S_n-3S_n-1=5a_n-a_n-1，∴2a_n=a_n-1，

an-1

∵a₁=2，∴an=2(

)n-1=22-n（n∈N^*）

（Ⅱ）b_n=（2n-1）2^2-n，

Tn=1× 2+3×20+5×2-1+…+(2n-1)×22-n

Tn= 1×20+3×2-1+…+(2n-3)×22-n+(2n-1)×21-n

Tn=2+2×(20+2-1+…+22-n) -(2n-1)×21-n=2+

2[1-(2-1)n-1]

1-2-1

-(2n-1)×21-n

∴T_n=12-（2n+3）×2^2-n（n∈N^*）

（Ⅲ）c_n=tⁿ（nlg2+nlgt+lg2^-n）=ntⁿlgt，∵c_n＜c_n+1，∴ntⁿlgt＜（n+1）tⁿ⁺¹lgt

∵0＜t＜1，∴nlgt＜t（n+1）lgt

∵lgt＜0，∴n＞t（n+1）⇔t＜

n+1

，

∵n∈N^*，

n+1

≥

，∴0＜t＜