问题 解答题
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
过点(0,1),且离心率为
3
2

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)A,B为椭圆C的左右顶点,直线l:x=2
2
与x轴交于点D,点P是椭圆C上异于A,B的动点,直线AP,BP分别交直线l于E,F两点.证明:当点P在椭圆C上运动时,|DE|•|DF|恒为定值.
答案

(Ⅰ)由题意可知,b=1,

又因为e=

c
a
=
3
2
,且a2=b2+c2

解得a=2,

所以椭圆的方程为

x2
4
+y2=1.

(Ⅱ)由题意可得:A(-2,0),B(2,0).设P(x0,y0),由题意可得:-2<x0<2,

所以直线AP的方程为y=

y0
x0+2
(x+2),令x=2
2
,则y=
(2
2
+2)y0
x0+2

|DE|=(2

2
+2)
|y0|
|x0+2|

同理:直线BP的方程为y=

y0
x0-2
(x-2),令x=2
2
,则y=
(2
2
-2)y0
x0-2

|DF|=(2

2
-2)
|y0|
|x0-2|

所以|DE|•|DF|=(2

2
+2)
|y0|
|x0+2|
•(2
2
-2)
|y0|
|x0-2|
=
4
y20
|
x20
-4|
=
4
y20
4-
x20

x20
4
+
y20
=1,即4y02=4-x02,代入上式,

所以|DE|•|DF|=1,

所以|DE|•|DF|为定值1.

阅读理解与欣赏

阅读下面文章,完成后面小题。(12分)

①人们对石油的利用,是根据它的物理性质、化学性质、化学成分和其他特点来决定的。

②石油是液体,比重小于水,比其他燃料容易开采,并且占有的容积小,容易运输。同时,和一般燃料比较,它的可燃性好,发热量高,比如燃烧1千克石油可以产生4万焦耳的热量,而燃烧1千克煤只有2万-3万焦耳的热量,煅烧1千克木柴只有0.8万-1万焦耳的热量,这样,石油的燃烧的热量比最好的煤要高一倍左右。石油还有易燃烧、燃烧充分各燃烧后不留灰烬的特点,正符合内燃机的要求。所以,不论在陆地、海上或空中交通运输,石油都是重要的动力燃料。在军事上,石油是重要的战略物资之一,许多新型武器,如超音速飞机、有些远程导弹各火箭,也都是用石油提炼出的产品作燃料的。石油在工业燃料和现代农业机械燃料中所占的比重,也正在不断上升。

③另外,石油具有粘性,可以炼制出优质的润滑材料。我们知道,如果没有润滑剂来减少摩擦和磨损,机器就无法运转。特别是在尖端科学技术,如原子弹、宇宙航行等方面,更需要具有耐高温或低温、防水、抗辐射、抗腐蚀、抗氧化、耐真空、高真空等特殊性能的润滑材料,这也都离不开石油。

④谈到石油的化学成分,它是一种由多种物质组成的混合物。它所含的化学元素主要是碳和氢,其中碳占83%-87%,氢占11%-14%,其他元素如氧、氮、硫,总共不过1%。石油中各种物质的分子大小和结构不同,形成了各种各样的碳氢化合物。这些碳氢化合物是有机化合物中的一类。

⑤人们就利用石油是有机化合物的这个特点,来炼制各种石油化学产品,在人们的吃、穿、用等生活各方面加以利用。根据目前所知道的,用石油做原料或部分原料制成的产品,如人造橡胶、塑料、染料、香料、炸药、医药用品、糖精、肥皂、合成纤维、合成洗涤剂等等,已经有5000种以上

⑥石油全身都是宝,说是提炼剩下的残渣――沥青(柏油),也可以用来铺柏油马路。

⑦石油在农业上除了做农业机械的燃料之外,还可以制成合成农药、合成肥料、土壤覆盖剂、喷洒剂以及动植物的生长刺激剂等。这对促进农业增产有着重要作用。

小题1:本文说明的对象是        ,采用了      顺序来说明。(2分)

小题2:文中写人们利用石油做了什么?请用简洁的语言概括出来。(4分)

(1)做燃料;(2)      ;(3)       ;(4)       ;(5)    

小题3:第②段划线句子除了运用举例子的说明方法,还运用了什么方法,有何作用?(3分)

小题4:第⑤段中结尾一句加点词语“以上”可否删去?为什么?(3分)

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