问题
解答题
已知椭圆C：
（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）A，B为椭圆C的左右顶点，直线l：x=2
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答案
（Ⅰ）由题意可知，b=1，
又因为e=
=c a
，且a2=b2+c2，3 2
解得a=2，
所以椭圆的方程为
+y2=1．x2 4
（Ⅱ）由题意可得：A（-2，0），B（2，0）．设P（x0，y0），由题意可得：-2＜x0＜2，
所以直线AP的方程为y=
(x+2)，令x=2y0 x0+2
，则y=2
，(2
+2)y02 x0+2
即|DE|=(2
+2)2
；|y0| |x0+2|
同理：直线BP的方程为y=
(x-2)，令x=2y0 x0-2
，则y=2
，(2
-2)y02 x0-2
即|DF|=(2
-2)2
；|y0| |x0-2|
所以|DE|•|DF|=(2
+2)2
•(2|y0| |x0+2|
-2)2
=|y0| |x0-2|
=4 y 20 |
-4|x 20 4 y 20 4- x 20
而
+x 20 4
=1，即4y02=4-x02，代入上式，y 20
所以|DE|•|DF|=1，
所以|DE|•|DF|为定值1．