已知数列{an}满足：a1=1，an+1=12an+n，n为奇数an-2n，n为_爱下问搜题

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问题解答题

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=

1

2

an+n，n为奇数

an-2n，n为偶数

（1）求a₂、a₃、a₄、a₅；
（2）设b_n=a_2n-2，n∈N，求证{b_n}是等比数列，并求其通项公式；
（3）在（2）条件下，求证数列{a_n}前100项中的所有偶数项的和S₁₀₀＜100．

答案

（1）a2=

3

2

，a3=-

5

2

，a4=

7

4

，a5=-

25

4

；

（2）∵

bn+1

bn

=

a2n+2-2

a2n-2

=

1

2

a2n+1 +2n+1-2

a2n-2

=

1

2

(a2n-4n)+2n-1

a2n-2

=

1

2

a2n-1

a2n-2

=

1

2

，

又∵b1=a2-2=-

1

2

，

∴数列{b_n}是等比数列，

且bn=(-

1

2

)(-

1

2

)n-1=(-

1

2

)n；

（3）由（2）得：

a2n=bn+2=2-(

1

2

)n （n=1，2，…，50）

∴S100=a2+a4+…+a100=2×50-

1

2

(1-

1

250

)

1-

1

2

=99+

1

299

＜100．

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