（I）由题意设双曲线S的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)且c为它的半焦距，

根据已知得c=

5

2

，

c

a

=

5

∴a=

1

2

∵b²=c²-a²=1，∴b=1

所以双曲线S的方程为4x²-y²=1．

（II）由题意得

y=kx+1 4x2-y2=1

消去y得（4-k²）x²-2kx-2=0x²-2kx-2=0

当△＞0且4-k⁴≠0即4k²+8（4-k²）＞0且k≠±2时，

l与双曲线S有两个不同交点A，B

∴-2

2

＜ k＜2

2

且k≠±2

设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）

∵OA⊥OB，∴

OA

•

OB

=0

∴x₁x₂+y₁y₂=0

∵x1+x2=

2k

4-k2

，x1x2=

-2

4-k2

，y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1

∴x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0

∴

-2

4-k2

 +k2•

-2

4-k2

+k•

2k

4-k2

+1=0

化简得k²=2

所以k=±

2

经检验k=±

2

符合条件．

所以当

OA

⊥

OB

时，实数k的值为±

2

．