问题 解答题
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的一个焦点坐标为(1,0),且长轴长是短轴长的
2
倍.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设O为坐标原点,椭圆C与直线y=kx+1相交于两个不同的点A,B,线段AB的中点为P,若直线OP的斜率为-1,求△OAB的面积.
答案

(Ⅰ)由题意得c=1 , a=

2
b,(2分)

又a2-b2=1,所以b2=1,a2=2.(3分)

所以椭圆的方程为

x2
2
+y2=1.(4分)

(Ⅱ)设A(0,1),B(x1,y1),P(x0,y0),

联立

x2+2y2=2
y=kx+1
消去y得(1+2k2)x2+4kx=0(*),(6分)

解得x=0或x=-

4k
1+2k2
,所以x1=-
4k
1+2k2

所以B(-

4k
1+2k2
1-2k2
1+2k2
),P(-
2k
1+2k2
1
1+2k2
)
,(8分)

因为直线OP的斜率为-1,所以-

1
2k
=-1,

解得k=

1
2
(满足(*)式判别式大于零).(10分)

O到直线l:y=

1
2
x+1的距离为
2
5
,(11分)

|AB|=

x21
+(y1-1)2
=
2
3
5
,(12分)

所以△OAB的面积为

1
2
×
2
3
5
×
2
5
=
2
3
.(13分)

单项选择题
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