问题
解答题
已知椭圆C:
(Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)设O为坐标原点,椭圆C与直线y=kx+1相交于两个不同的点A,B,线段AB的中点为P,若直线OP的斜率为-1,求△OAB的面积. |
答案
(Ⅰ)由题意得c=1 , a=
b,(2分)2
又a2-b2=1,所以b2=1,a2=2.(3分)
所以椭圆的方程为
+y2=1.(4分)x2 2
(Ⅱ)设A(0,1),B(x1,y1),P(x0,y0),
联立
消去y得(1+2k2)x2+4kx=0(*),(6分)x2+2y2=2 y=kx+1
解得x=0或x=-
,所以x1=-4k 1+2k2
,4k 1+2k2
所以B(-
,4k 1+2k2
),P(-1-2k2 1+2k2
,2k 1+2k2
),(8分)1 1+2k2
因为直线OP的斜率为-1,所以-
=-1,1 2k
解得k=
(满足(*)式判别式大于零).(10分)1 2
O到直线l:y=
x+1的距离为1 2
,(11分)2 5
|AB|=
=
+(y1-1)2x 21 2 3
,(12分)5
所以△OAB的面积为
×1 2 2 3
×5
=2 5
.(13分)2 3