已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（1，0），且长_爱下问搜题

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问题解答题

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（1，0），且长轴长是短轴长的

2

倍．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，椭圆C与直线y=kx+1相交于两个不同的点A，B，线段AB的中点为P，若直线OP的斜率为-1，求△OAB的面积．

答案

（Ⅰ）由题意得c=1 ， a=

2

b，（2分）

又a²-b²=1，所以b²=1，a²=2．（3分）

所以椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．（4分）

（Ⅱ）设A（0，1），B（x₁，y₁），P（x₀，y₀），

联立

x2+2y2=2

y=kx+1

消去y得（1+2k²）x²+4kx=0（*），（6分）

解得x=0或x=-

4k

1+2k2

，所以x1=-

4k

1+2k2

，

所以B(-

4k

1+2k2

，

1-2k2

1+2k2

)，P(-

2k

1+2k2

，

1

1+2k2

)，（8分）

因为直线OP的斜率为-1，所以-

1

2k

=-1，

解得k=

1

2

（满足（*）式判别式大于零）．（10分）

O到直线l：y=

1

2

x+1的距离为

2

5

，（11分）

|AB|=

x

21

+(y1-1)2

=

2

3

5

，（12分）

所以△OAB的面积为

1

2

×

2

3

5

×

2

5

=

2

3

．（13分）

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