（1）当k=1时，y=x+1，

由

y=x+1 3x2-y2=1

得，x²-x-1=0，

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=1，x₁x₂=-1，

所以|AB|=

2

|x1-x2|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

12-4(-1)

=

10

，

点O到直线AB的距离为d=

1

2

，

所以△AOB的面积为：

1

2

×|AB|•d=

1

2

×

10

×

1

2

=

5

2

；

（2）由

y=kx+1 3x2-y2=1

，得（3-k²）x²-2kx-2=0，

因为A．B在双曲线的左右两支上，所以

3-k2≠0 x1x2= -2 3-k2 ＜0

，解得-

3

＜k＜

3

，

所以实数k的取值范围为：-

3

＜k＜

3

．