问题
解答题
已知动点P与双曲线x2-y2=1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为-
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答案
∵x2-y2=1，∴c=
．2
设|PF1|+|PF2|=2a（常数a＞0），2a＞2c=2
，2
∴a＞2
由余弦定理有cos∠F1PF2
=|PF1| 2+|PF2| 2-|F1F2| 2 2|PF1||PF2|
=(|PF1|+|PF2|) 2-2|PF1||PF2|-|F1F2| 2 2|PF1||PF2|
=
-12a 2-4 |PF1||PF2|
∵|PF1||PF2|≤（
）2=a2，|PF1|+|PF2| 2
∴当且仅当|PF1|=|PF2|时，|PF1||PF2|取得最大值a2．
此时cos∠F1PF2取得最小值
-1，2a 2-4 a 2
由题意
-1=-2a 2-4 a 2
，1 3
解得a2=3，
∴b2=a2-c2=3-2=1
∴P点的轨迹方程为
+y2=1．x 2 3