问题
解答题
设0＜θ＜
（Ⅰ）求θ的取值范围； （Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围． |
答案
（I）两曲线的交点坐标（x，y）满足方程组
即x2sinθ+y2cosθ=1 x2cosθ-y2sinθ=1 x2=sinθ+cosθ y2=cosθ-sinθ.
有4个不同交点等价于x2＞0，且y2＞0，即sinθ+cosθ＞0 cosθ-sinθ＞0.
又因为0＜θ＜
，所以得θ的取值范围为（0，π 2
)．π 4
（II）证明：由（I）的推理知4个交点的坐标（x，y）满足方程x2+y2=2cosθ(0＜θ＜
)，π 4
即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为r=
(0＜θ＜2cosθ
)．π 4
因为cosθ在(0，
)上是减函数，所以由cos0=1，cosπ 4
=π 4
，2 2
知r的取值范围是(
，4 2
)．2