问题
解答题
设数列{an}是公差不为0的等差数列，Sn为其前n项和，数列{bn}为等比数列，且a1=b1=2，S2=5b2，S4=25b3．
（I）求数列{an}和{bn}的通项公式an及bn；
（II）设数列{cn}满足cn=bnSn，问当n为何值时，cn取得最大值？
答案
（I）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
则S2=2a1+d=4+d，S4=4a1+6d=8+6d，b2=b1q=2q，b3=2q2，
根据题意可得：S2=5b2，S4=25b3，即
，4+d=10q 8+6d=50q2
解得：
或者q= 4 5 d=4
（舍去），q= 2 5 d=0
因为a1=b1=2，数列{an}是等差数列，数列{bn}为等比数列，
所以an=4n-2，bn=2•(
)n-1．4 5
（II）因为Sn是等差数列{an}的前n项和，
所以Sn=2n2，所以cn=bnSn=4n2•(
)n-1．4 5
假设Cn最大，因为C1=4，C2=
，所以C1＜C2，所以n≥2．64 5
由Cn最大，可得：
，即Cn≥Cn+1 Cn≥Cn-1
，4n2(
)n-1≥4(n+1)2(4 5
)n4 5 4n2(
)n-1≥4(n-1)2(4 5
)n-24 5
化简可得：
，n2-8n-4≥0 n2-10n+5≤0
解得：4+
≤n≤5+20
，20
因为4＜
＜5，20
所以8＜n＜10，所以n=9，
即当n=9时，C9最大．