已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，满

问题解答题

已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意n∈N^*，满足关系S_n=2a_n-2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为T_n，且bn=

(log2an)2

，求证：对任意正整数n，总有T_n＜2；
（Ⅲ）在正数数列{c_n}中，设(cn)n+1=

n+1

2n+1

an+1(n∈N*)，求数列{lnc_n}中的最大项

答案

（Ⅰ）∵S_n=2a_n-2（n∈N^*），①∴S_n-1=2a_n-1-2（n≥2，n∈N^*）②（1分）

①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1．（n≥2，n∈N^*）∵a_n≠0，∴

an-1

=2.（n≥2，n∈N^*）

即数列{a_n}是等比数列．（3分）∵a₁=S₁，∴a₁=2a₁-2，即a₁=2．∴a_n=2ⁿ．（n∈N^*）（5分）

（Ⅱ）证明：∵对任意正整数n，总有bn=

(log2an)2

.（6分）

∴Tn=

+…+

≤1+

1•2

2•3

+…+

(n-1)n

=1+1-

+…+

n-1

＜2（9分）

（Ⅲ）由（c_n）ⁿ⁺¹=

n+1

2n+1

a_n+1（n∈N^*）知lnc_n=

ln(n-1)

n+1

令f(x)=

lnx

，则f′(x)=

•x-1nx

1-lnx

∵在区间（0，e）上，f'（x）＞0，在区间（e，+∞）上，f'（x）＜0．

在区间（e，+∞）上f（x）为单调递减函数．（12分）

∴n≥2且n∈N^*时，|lnc_n|是递减数列．

又lnc1＜lnc2，∴数列|lncn|中的最大项为lnc2=

ln3.（14分）