问题
解答题
已知抛物线y 2=2px及定点A（a，b），B（-a，0），（ab≠0，b 2≠2pa）．M是抛物线上的点，设直线AM，BM与抛物线的另一交点分别为M1，M2．
求证：当M点在抛物线上变动时（只要M1，M2存在且M1≠M2），直线M1M2恒过一个定点．并求出这个定点的坐标．
答案
证明：设M（
，m）．M1（m2 2p
，m1），M2（m12 2p
，m2），m22 2p
则A、M、M1共线，得
=b-m m1-m
，即b-m=a- m2 2p
-m12 2p m2 2p 2pa-m2 m1+m
．2pa-m2 m1+m
∴m1=
，同法得m2=2pa-bm b-m
；2pa m
∴M1M2所在直线方程为
=y-m2 m1-m2
，即（m1+m2）y=2px+m1m2．2pa-m22 m12-m22
消去m1，m2，得2paby-bm2y=2pbmx-2pm2x+4p2a2-2pabm．（1）
分别令m=0，1代入，得x=a，y=
，2pa b
以x=a，y=
代入方程（1）知此式恒成立．2pa b
即M1M2过定点（a，
）2pa b