问题 解答题

已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3)。

(Ⅰ)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式;

(Ⅱ)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围。

答案

解:(Ⅰ)∵不等式f(x)+2x>0的解集为(1,3),

,且a<0,

因而,  ①

由方程,得,      ②

因为方程②有两个相等的根,所以,

,解得:a=1或

由于a<0,舍去a=1,

代入①,得f(x)的解析式

(Ⅱ)由

及a<0,可得f(x)的最大值为

,解得:

故当f(x)的最大值为正数时,实数a的取值范围是

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