问题
解答题
已知抛物线C：y2=4x，直线l过抛物线的焦点F且与该抛物线交于A、B两点（点A在第一象限）
（1）若|AB|=10，求直线l的方程；
（2）过点A的抛物线的切线与直线x=-1交于点E，求证：EF⊥AB．
答案
设A（x1，y1）B（x2，y2），
（1）若l⊥x轴，则|AB|=4不适合
故设l：y=k（x-1），代入抛物线方程得k2x2-2（k2+2）x+k2
△=16k2+16＞0∴x1+x2=
． 2(k2+2) k2
由|AB|=x1+x2+2=
+2=10，得k2=2(k2+2) k2 2 3
直线l的方程为y=±
(x-1)6 3
（2）当y＞0时y′=
•切线的方程：y-y1=1 x
(x-x1)得1 y1
E（-1，y1-
），1+x1 x1
=（2，EF
-y1），1+x1 x1
=（ x1-1，y1） FA
•EF
=2（x1-1）+（FA
-y1）y1=2（x1-1）+2（1+x1）-4x1=01+x1 x1
∴EF⊥FA，即EF⊥AB．
