问题
解答题
设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2-an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足bn=λan-an2，若n≥5时，bn+1＜bn恒成立，求实数λ的取值范围．
答案
（1）∵n=1时，a1+S1=a1+a1=2，∴a1=1，
∵Sn=2-an，即an+Sn=2，∴an+1+Sn+1=2，两式相减：an+1-an+an+1=0，
故有2an+1=an，∵an≠0，∴
=an+1 an
，n∈N+1 2
所以，数列{an}为首项a1=1，公比为
的等比数列，1 2
∴an=(
)n-11 2
（2）bn=λan-an2=λ•(
)n-1-(1 2
)n-11 4
bn+1-bn=-λ•(
)n+3•(1 2
)n1 4
∵bn+1＜bn，∴λ＞3•(
)n1 2
∵n≥5时，bn+1＜bn恒成立，
∴λ＞3•(
)5，∴λ＞1 2 3 32
∴实数λ的取值范围是(
，+∞)3 32