问题
解答题
已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）。
（1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围。
答案
解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则不等式f（x）＞-2x为ax2+（b+2）x+c＞0，
∵不等式的解集为（1，3），
∴a＜0，
=4，
=3，即a＜0，b=-4a-2，c=3a，
∵方程ax2+bx+6a+c=0有两个相等的根，
∴Δ=b2-4a（6a+c）=0，
把b、c分别代入Δ中，得5a2-4a-1=0. 解得a=
，a=1（舍），
∴b=
，c=
，
∴f（x）的解析式为
。
（2）由（1）知a＜0，所以当x=
时，函数f（x）取到最大值，
由题设，得a（）2+b·（）+c＞0，
代入b、c并整理，得a2+4a+1＞0，
解得a＜-2-
或a＞-2+
，
又∵a＜0，
∴a的取值范围为（-∞，-2-
）∪（-2+
，0）。