问题 填空题
已知抛物线C:y=ax2(a>0)的焦点到准线的距离为
1
4
,且C上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,并且x1x2=-
1
2
,那么m=______.
答案

∵抛物线C:y=ax2(a>0)的焦点到准线的距离为

1
4

1
2a
=
1
4
,解得a=2.

∴抛物线C的方程为:y=2x2(a>0).

∵抛物线C上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,

∴可设直线AB的方程为y=-x+t.

联立

y=-x+t
y=2x2
,消去y得2x2+x-t=0,

∵直线AB与抛物线相较于不同两点,∴△=1+4t>0.

据根与系数的关系得,x1+x2=-

1
2
x1x2=-
t
2
,由已知x1x2=-
1
2
,∴t=1.

于是直线AB的方程为y=-x+1,

设线段AB的中点为M(xM,yM),则xM=

x1+x2
2
=-
1
4

∴yM=-(-

1
4
)+1=
5
4

把M(-

1
4
5
4
)代入直线y=x+m得
5
4
=-
1
4
+m
,解得m=
3
2

故答案为

3
2

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