解：（1）∵直线y=x﹣2分别交x轴、y轴于A、B两点，

∴A、B点的坐标分别为（2，0）、（0，﹣2），S_△AOB===2；

（2）从图中不难发现O到直线y=x﹣2的距离即为△AOB边AB边上的高，

∴AB==，

∴△AOB边AB边上的高OE===；

（3）①当过△AOB顶点O时，如图所示，E为直线L与直线AB的交点，由题意及图知E为线段AB的中点，

∴E点的坐标为（1，﹣1），则直线L的解析式为y=﹣x，

②当过△AOB顶点A时，如图所示，E为直线L与y轴的交点，

由题意及图知E为线段OB的中点，

∴E点的坐标为（0，﹣1），

则直线L的解析式为y﹣（﹣1）=x，即，

③当过△AOB顶点B时，

如图所示，E为直线L与x轴的交点，

由题意及图知E为线段OA的中点，

∴E点的坐标为（﹣1，0），则直线L的解析式为y+2=2x，

即y=2x﹣2．