已知等比数列{an}的首项为a1=2，公比为q（q为正整数），且满足3a3是8a

问题解答题

已知等比数列{a_n}的首项为a₁=2，公比为q（q为正整数），且满足3a₃是8a₁与a₅的等差中项；数列{b_n}满足2n²-（t+b_n）n+

b_n=0（t∈R，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）试确定t的值，使得数列{b_n}为等差数列；
（3）当{b_n}为等差数列时，对任意正整数k，在a_k与a_k+1之间插入2共b_k个，得到一个新数列{c_n}．设T_n是数列{c_n}的前n项和，试求满足T_n=2c_m+1的所有正整数m的值．

答案

（1）因为6a₃=8a₁+a₅，所以6q²=8+q⁴，

解得q²=4或q²=2（舍），则q=2

又a₁=2，所以a_n=2ⁿ

（2）由2n²-（t+b_n）n+

b_n=0，得b_n=

2n2-tn

，

所以b₁=2t-4，b₂=16-4t，b₃=12-2t，

则由b₁+b₃=2b₂，得t=3

而当t=3时，b_n=2n，由b_n+1-b_n=2（常数）知此时数列{b_n}为等差数列；

（3）因为c₁=c₂=c₃=2，易知m=1不合题意，m=2适合题意

当m≥3时，若后添入的数2等于c_m+1个，则一定不适合题意，

从而c_m+1必是数列{a_n}中的某一项a_k+1，

则（2+2²+2³+…+2^k）+2（b₁+b₂+b₃+…+b_k）=2×2^k+1，

即2×(2k-1)+

(2+2k)k

×2=2×2k+1，即2^k+1-2k²-2k+2=0．

也就是2^k=k²+k-1，

易证k=1，2，3，4不是该方程的解，而当n≥5时，2ⁿ＞n²+n-1成立，证明如下：

1°当n=5时，2⁵=32，k²+k-1=29，左边＞右边成立；

2°假设n=k时，2^k＞k²+k-1成立，

当n=k+1时，2^k+1＞2k²+2k-2=（k+1）²+（k+1）-1+k²-k-3

≥（k+1）²+（k+1）-1+5k-k-3=（k+1）²+（k+1）-1+k+3（k-1）＞（k+1）²+（k+1）-1

这就是说，当n=k+1时，结论成立．

由1°，2°可知，2ⁿ＞n²+n-1（n≥5）时恒成立，故2^k=k²+k-1无正整数解．

综上可知，满足题意的正整数仅有m=2．