问题
解答题
某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里／小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以v海里／小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。
（I）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（Ⅱ）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；
（Ⅲ）是否存在v，使得小艇以v海里／小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由。
答案
解：（I）设相遇时小艇的航行距离为S海里
则
故当
时，
即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小；
（Ⅱ）设小艇与轮船在B处相遇
由题意可得：（vt）2=202+（30t）2-2·20·30t·cos（90°-30°）
化简得
由于
，即
所以当
时，v取得最小值
即小艇航行速度的最小值为
海里/小时；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
设
于是400u2-600u+900-v2=0。（*）
小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程（*）应有两个不等正跟
即
解得
所以v的取值范围是
。