问题 解答题

在等比数列{an}中,a2a3=32,a5=32.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设数列{an}的前n项和为Sn,求S1+2S2+…+nSn

答案

(1)设等比数列{an}的公比为q,依题意

a1q•a1q2=32
a1q4=32
,解得a1=2,q=2,

an=2•2n-1=2n

(2)∵a1=2,q=2,

Sn=

2(1-2n)
1-2
=2(2n-1),

∴S1+2S2+…+nSn=2[(2+2•22+…+n•2n)-(1+2+…+n)],

Tn=2+2•22+…+n•2n,①

则2Tn=22+2•23+…+n•2n+1,②

①-②,得-Tn=2+22+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)
1-2
-n•2n+1=(1-n)•2n+1-2,

Tn=(n-1)•2n+1+2

∴S1+2S2+…+nSn=2[(n-1)•2n+1+2]-n(n+1)=(n-1)•2n+2+4-n(n+1).

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