问题
解答题
在等比数列{an}中，a2a3=32，a5=32．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求S1+2S2+…+nSn．
答案
（1）设等比数列{an}的公比为q，依题意
，解得a1=2，q=2，a1q•a1q2=32 a1q4=32
∴an=2•2n-1=2n．
（2）∵a1=2，q=2，
∴Sn=
=2（2n-1），2(1-2n) 1-2
∴S1+2S2+…+nSn=2[（2+2•22+…+n•2n）-（1+2+…+n）]，
设Tn=2+2•22+…+n•2n，①
则2Tn=22+2•23+…+n•2n+1，②
①-②，得-Tn=2+22+…+2n-n•2n+1=
-n•2n+1=（1-n）•2n+1-2，2(1-2n) 1-2
∴Tn=(n-1)•2n+1+2，
∴S1+2S2+…+nSn=2[（n-1）•2n+1+2]-n（n+1）=（n-1）•2n+2+4-n（n+1）．
