问题
解答题
设椭圆
（I）若∠AF1F2=α，∠AF2F1=β，试用α，β表示椭圆的离心率e； （II）设
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答案
（I）设F1（-c，0），F2（c，0）．在△AF1F2中，由正弦定理得
=|AF1| sinβ
=|AF1| sinα
，|F1F2| sin(α+β)
即|AF1|=
，|AF2|=sinβ|F1F2| sin(α+β)
，sinα|F1F2| sin(α+β)
所以2a=|AF1|+|AF2|=
+sinβ|F1F2| sin(α+β)
，sinα|F1F2| sin(α+β)
=2c（
+sinβ sin(α+β)
）=2c•sinα sin(α+β)
，sinα+sinβ sin(α+β)
得e=
．sin(α+β) sinα+sinβ
（II）设A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2）．
①当y0=0时，λ1+λ2=2
=a2 +c2 a2-c2
；当AB或AC与x轴垂直时，λ1+λ2=2(1+e2) 1-e2
．2(1+e2) 1-e2
②当AB，AC都不与x轴垂直且y0≠0时，AC的方程为y=
（x-c），y0 x0-c
由
，y=
(x-c)y0 x0-c
+x2 a2
=1y2 b2
消x得[b2（x0-c）2+a2y02]y2+2b2y0（x0-c）y+c2b2y02-a2b2y02=0．
由韦达定理得 y2y0=
，c2b2y02-a2b2y02 b2(x0-c)2+a2y02
所以y2=
，c2b2y0-a2 b2y0 b2(x0-c)2+a2y02
所以 λ2=
=-|AF2| |F2C|
=-y0 y2
，b2(x0-c)2+a2y02 c2b2-a2b2
同理可得λ1=
=-|AF1| |F1C|
=-(y0 y1
+b2(x0-c)2+a2y02 c2b2-a2b2
]，b2(x0+c)2+a2y02 c2b2-a2b2
故λ1+λ2=
．2(1+e2) 1-e2