设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为e，A为椭圆上一点，弦AB，

问题解答题

设椭圆

=1（a＞b＞0）的离心率为e，A为椭圆上一点，弦AB，AC分别过焦点F₁，F₂．
（I）若∠AF₁F₂=α，∠AF₂F₁=β，试用α，β表示椭圆的离心率e；
（II）设

AF1

=λ₁

F1B

，

AF2

=λ₂

F2C

，当A在椭圆上运动时，求证：λ₁+λ₂为定值．

答案

（I）设F₁（-c，0），F₂（c，0）．在△AF₁F₂中，由正弦定理得

|AF1|

sinβ

|AF1|

sinα

|F1F2|

sin(α+β)

，

即|AF₁|=

sinβ|F1F2|

sin(α+β)

，|AF₂|=

sinα|F1F2|

sin(α+β)

，

所以2a=|AF₁|+|AF₂|=

sinβ|F1F2|

sin(α+β)

sinα|F1F2|

sin(α+β)

，

=2c（

sinβ

sin(α+β)

sinα

sin(α+β)

）=2c•

sinα+sinβ

sin(α+β)

，

得e=

sin(α+β)

sinα+sinβ

．

（II）设A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．

①当y₀=0时，λ₁+λ₂=2

a2 +c2

a2-c2

2(1+e2)

1-e2

；当AB或AC与x轴垂直时，λ₁+λ₂=

2(1+e2)

1-e2

．

②当AB，AC都不与x轴垂直且y₀≠0时，AC的方程为y=

x0-c

（x-c），

由

x0-c

(x-c)

，

消x得[b²（x₀-c）²+a²y₀²]y²+2b²y₀（x₀-c）y+c²b²y₀²-a²b²y₀²=0．

由韦达定理得 y₂y₀=

c2b2y02-a2b2y02

b2(x0-c)2+a2y02

，

所以y₂=

c2b2y0-a2 b2y0

b2(x0-c)2+a2y02

，

所以 λ₂=

|AF2|

|F2C|

b2(x0-c)2+a2y02

c2b2-a2b2

，

同理可得λ₁=

|AF1|

|F1C|

=-(

b2(x0-c)2+a2y02

c2b2-a2b2

b2(x0+c)2+a2y02

c2b2-a2b2

]，

故λ₁+λ₂=

2(1+e2)

1-e2

．