问题 解答题

已知数列{an},其前n项和Sn满足Sn+1=2λSn+1(λ是大于0的常数),且a1=1,a3=4.

(Ⅰ)求λ的值;

(Ⅱ)求数列{an}的通项公式an

答案

(Ⅰ)由Sn+1=2λSn+1得S2=2λS1+1=2λa1+1=2λ+1,S3=2λS2+1=4λ2+2λ+1

∴a3=S3-S2=4λ2,∵a3=4,λ>0,∴λ=1

(Ⅱ)由Sn+1=2Sn+1整理得Sn+1+1=2(Sn+1),

∴数列{Sn+1}是以S1+1=2为首项,以2为公比的等比数列

∴Sn+1=2•2n-1,∴Sn=2n-1,

∴an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2)

∵当n=1时,a1=1满足an=2n-1,∴an=2n-1

单项选择题

男性,18岁,高二学生。自幼活泼、开朗、聪明而有灵气,小学和初中时几乎每年都被评为“三好学生”,初中毕业后,以优异的成绩考入重点高中,高二时又被选上团支部副书记、学习委员。可是,在一次班会上,他为了一件小事与同学争执起来,同学当面说他“高傲”、“自大”等。按他以往的经验和性格,对这小小的打击是不会在意的。而这次却不然,他感到经受不住,无法看书,夜里睡不好,常常早早醒来,脑子里反复出现同学们评论他的情景。
他开始以为是学习紧张,精神上压力大,几次看内科医生,都说是患了“神经衰弱”,服用安眠药、健脑药两个多月,仍不见好转。相反,他的情绪越来越差,总感到委屈,不愿与人交往,甚至不想上学,一点小事他都要想很长时间,思维、记忆明显不如以前,感到自己无能而出现悲观厌世的念头。他想既然按照神经衰弱治疗无效,那么,一定是“思想问题”,于是他主动找老师、班长和好朋友谈心,经过别人多次开导、鼓励都无济于事。在老师的建议下找心理医生,可是家长认为是“闹情绪”或是有“思想问题”,不同意看“医生”。两个月后在老师的再三建议下来咨询。

该求助者最可能的诊断是( )。

A.一般心理问题——“闹情绪”

B.严重心理问题——“思想问题”

C.神经症——强迫症(反复出现同学评价自己的情景)

D.心境障碍——抑郁反应

多项选择题