已知数列{an}，其前n项和Sn满足Sn+1=2λSn+1（λ是大于0的常数），

问题解答题

已知数列{a_n}，其前n项和S_n满足S_n+1=2λS_n+1（λ是大于0的常数），且a₁=1，a₃=4．

（Ⅰ）求λ的值；

（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式a_n．

答案

（Ⅰ）由S_n+1=2λS_n+1得S₂=2λS₁+1=2λa₁+1=2λ+1，S₃=2λS₂+1=4λ²+2λ+1

∴a₃=S₃-S₂=4λ²，∵a₃=4，λ＞0，∴λ=1

（Ⅱ）由S_n+1=2S_n+1整理得S_n+1+1=2（S_n+1），

∴数列{S_n+1}是以S₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列

∴S_n+1=2•2^n-1，∴S_n=2ⁿ-1，

∴a_n=S_n-S_n-1=2^n-1（n≥2）

∵当n=1时，a₁=1满足a_n=2^n-1，∴a_n=2^n-1