已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，右焦点为F，点O

问题解答题

已知双曲线

=1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，右焦点为F，点O为坐标原点，直线l：x=

与x轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，又

，

•

=2，过点F的直线m与双曲线右支交于点M，N，点P为点M关于x轴的对称点．
（1）求双曲线的方程；
（2）判断B，P，N三点是否共线，并说明理由；
（3）求三角形BMN面积的最小值．

答案

（1）∵

，

•

=2，

∴

a=2×

a×

，∴a²=4，c=4

∴b²=c²-a²=12

∴双曲线的方程为

=1；

（2）由（1）可知B（1，0），F（4，0），

由题意直线m的斜率不为0，所以设直线m的方程为x=ty+4，代入

=1整理得（3t²-1）y²+24ty+36=0，

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则P（x₁，-y₁）．

由韦达定理知y1+y2=-

24t

3t2-1

，y1y2=

3t2-1

，

所以

=(x1-1，-y1)，

=(x2-1，y2)．

因为（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）=x₁y₂+x₂y₁-y₁-y₂=2ty1y2+3(y1+y2)=2t

3t2-1

+3(-

24t

3t2-1

)=0

∴向量

，

共线，所以B，P，N三点共线．

（3）因为直线m与双曲线右支交于点M，N，所以x₁x₂=（ty₁+4）（ty₂+4）＞0，得t2＜

．

∴S△BMN=

|BF||y1-y2|=

×3×

(y1+y2)2-4y1y2

3+3t2

1-3t2

，

令u=1-3t²，则u∈（0，1]，S△BMN=

4-u

)2-

，

又

∈[1，+∞)，所以

=1，即t=0时，三角形BMN面积的最小值18．