问题
解答题
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R)，当x=2时，函数取得最大值2，其图象在x轴上截得线段长为2，求其解析式．
答案
解法1：由条件知a＜0，且顶点为(2，2)，
设f(x)=a(x-2)2+2，即y=ax2-4ax+4a+2，
设它与x轴两交点为A(x1，0)，B(x2，0)，
则x1+x2=4，x1x2=4+
，
由条件知，|x1-x2|=
，
∴a=-2，
∴解析式为f(x)=-2x2+8x-6；
解法2：由条件知f(x)的对称轴为x=2，
设它与x轴两交点为A(x1，0)，B(x2，0)，且x1＜x2，
则
，∴
，
故可设f(x)=a(x-1)(x-3)，
∵过(2，2)点，∴a=-2，
∴f(x)=-2x2+8x-6。