问题
解答题
已知等比数列{an}中，a2，a3，a4分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且a1=
（1）求数列{an}的通项公式； （2）已知数列{bn}满足bn=log
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答案
（1）由已知得a2-a3=2（a3-a4）．
从而得2q2-3q+1=0
解得q=
或q=1（舍去）…（4分）1 2
所以an=a1•qn-1=
•（1 2
）n-1=(1 2
)n．1 2
∴数列{an}的通项公式为an=(
)n；…（6分）1 2
（2）由于bn=2log
(1 2
)n=2n•Sn=n(n+1)，anSn=1 2
．n(n+1) 2n
因此所证不等式等价于：2n＞n（n+1）（n≥5．）
①当n=5时，因为左边=32，右边=30，32＞30，所以不等式成立；
②假设n=k（k≥5）时不等式成立，即2k＞k（k+1），
两边同乘以2得2k+1＞（k+1）（k+2）．
这说明当n=k+1时也不等式成立．
由①②知，当n≥5时，2n＞n（n+1）成立．
因此，当n≥5时，anSn＜1成立．…（12分）