问题 填空题
以下四个关于圆锥曲线的命题中:
①设A、B为两个定点,k为非零常数,|
PA
|-|
PB
|=k
,则动点P的轨迹为双曲线;
②以过抛物线的焦点的一条弦AB为直径作圆,则该圆与抛物线的准线相切;
③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
④双曲线
x2
25
-
y2
9
=1与椭圆
x2
35
+y2=1
有相同的焦点.
其中真命题的序号为______(写出所有真命题的序号)
答案

①不正确;若动点P的轨迹为双曲线,则|k|要小于A、B为两个定点间的距离.当|k|大于A、B为两个定点间的距离时动点P的轨迹不是双曲线.

②正确;不妨设抛物线为标准抛物线:y2=2px (p>0 ),即抛物线位于Y轴的右侧,以X轴为对称轴.

设过焦点的弦为PQ,PQ的中点是M,M到准线的距离是d.

而P到准线的距离d1=|PF|,Q到准线的距离d2=|QF|.

又M到准线的距离d是梯形的中位线,故有d=

|PF|+|QF|
2

由抛物线的定义可得:

|PF|+|QF|
2
=
|PQ|
2
=半径.

所以圆心M到准线的距离等于半径,

所以圆与准线是相切.

③正确;方程2x2-5x+2=0的两根分别为

1
2
和2,
1
2
和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率.

④正确;双曲线

x2
25
-
y2
9
=1与椭圆
x2
35
+y2=1有相同的焦点,焦点在x轴上,焦点坐标为(±
34
,0);

故答案为:②③④.

判断题
单项选择题