问题
填空题
以下四个关于圆锥曲线的命题中: ①设A、B为两个定点,k为非零常数,|
②以过抛物线的焦点的一条弦AB为直径作圆,则该圆与抛物线的准线相切; ③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; ④双曲线
其中真命题的序号为______(写出所有真命题的序号) |
答案
①不正确;若动点P的轨迹为双曲线,则|k|要小于A、B为两个定点间的距离.当|k|大于A、B为两个定点间的距离时动点P的轨迹不是双曲线.
②正确;不妨设抛物线为标准抛物线:y2=2px (p>0 ),即抛物线位于Y轴的右侧,以X轴为对称轴.
设过焦点的弦为PQ,PQ的中点是M,M到准线的距离是d.
而P到准线的距离d1=|PF|,Q到准线的距离d2=|QF|.
又M到准线的距离d是梯形的中位线,故有d=
,|PF|+|QF| 2
由抛物线的定义可得:
=|PF|+|QF| 2
=半径.|PQ| 2
所以圆心M到准线的距离等于半径,
所以圆与准线是相切.
③正确;方程2x2-5x+2=0的两根分别为
和2,1 2
和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率.1 2
④正确;双曲线
-x2 25
=1与椭圆y2 9
+y2=1有相同的焦点,焦点在x轴上,焦点坐标为(±x2 35
,0);34
故答案为:②③④.