设实数x,y同时满足条件:4x2-9y2=36,且xy<0.
(1)求函数y=f(x)的解析式和定义域;
(2)判断函数y=f(x)的奇偶性;
(3)若方程f(x)=k(x-1)(k∈R)恰有两个不同的实数根,求k的取值范围.
(1)∵4x2-9y2=36,
∴y=±2 3
.x2-9
∵xy<0,∴y≠0.
又∵4x2-36=9y2>0,
∴x>3,x<-3.
∵xy<0,
∴f(x)=
.2 3
(x<-3)x2-9 - 2 3
(x>3)x2-9
函数y=f(x)的定义域为集合D={x∈R|x>3,x<-3}.
(2)当x<-3有-x>3,f(-x)=-2 3
=-(-x)2-9 2 3
=-f(x),x2-9
同理,当x>3时,有f(-x)=-f(x).
任设x∈D,有f(-x)=-f(x),
∴f(x)为定义域上的奇函数.
(3)联立方程组
,4x2-9y2=36 y=k(x-1)
可得,(4-9k2)x2+18k2x-(9k2+36)=0,
(Ⅰ)当k2=
时,即k=±4 9
时,方程只有唯一解,与题意不符;2 3
∴k≠±
.2 3
(Ⅱ)当k2≠
时,即方程为一个一元二次方程,4 9
要使方程有两个相异实数根,
则△=(18k2)2+4×(4-9k2)(9k2+36)>0.
解之得 -
<k<2 2
,但由于函数f(x)的图象在第二、四象限.2 2
故直线的斜率k<0,
综上可知-
<k<-2 2
或-2 3
<k<0.2 3