问题 解答题

设实数x,y同时满足条件:4x2-9y2=36,且xy<0.

(1)求函数y=f(x)的解析式和定义域;

(2)判断函数y=f(x)的奇偶性;

(3)若方程f(x)=k(x-1)(k∈R)恰有两个不同的实数根,求k的取值范围.

答案

(1)∵4x2-9y2=36,

y=±

2
3
x2-9

∵xy<0,∴y≠0.

又∵4x2-36=9y2>0,

∴x>3,x<-3.

∵xy<0,

f(x)=

2
3
x2-9
(x<-3)
-
2
3
x2-9
(x>3)

函数y=f(x)的定义域为集合D={x∈R|x>3,x<-3}.

(2)当x<-3有-x>3,f(-x)=-

2
3
(-x)2-9
=-
2
3
x2-9
=-f(x),

同理,当x>3时,有f(-x)=-f(x).

任设x∈D,有f(-x)=-f(x),

∴f(x)为定义域上的奇函数.

(3)联立方程组

4x2-9y2=36
y=k(x-1)

可得,(4-9k2)x2+18k2x-(9k2+36)=0,

(Ⅰ)当k2=

4
9
时,即k=±
2
3
时,方程只有唯一解,与题意不符;

k≠±

2
3

(Ⅱ)当k2

4
9
时,即方程为一个一元二次方程,

要使方程有两个相异实数根,

则△=(18k22+4×(4-9k2)(9k2+36)>0.

解之得  -

2
2
<k<
2
2
,但由于函数f(x)的图象在第二、四象限.

故直线的斜率k<0,

综上可知-

2
2
<k<-
2
3
-
2
3
<k<0

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