已知等比数列{an}的首项a1=8，令bn=log2an，Sn是数列{bn}的前

问题填空题

已知等比数列{a_n}的首项a₁=8，令b_n=log₂a_n，S_n是数列{b_n}的前n项和，若S₃是数列{S_n}中的唯一最大项，则{a_n}的公比q的取值范围是______．

答案

由题意可得a_n=a₁q^n-1=8•q^n-1，

所以b_n=log₂a_n=log₂（8•q^n-1）

=3+log2qn-1=3+（n-1）log₂q，

上式为关于n的一次函数的形式，故数列{b_n}为等差数列，

又知S₃是数列{S_n}中的唯一最大项，故

b3＞0

b4＜0

代入可得

3+2log2q＞0

3+3log2q＜0

，解得-

＜log2q＜-1，

故2-

＜q＜2^-1，即

＜q＜

故答案为：

＜q＜