（1）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的斜率为k，

由A、B在椭圆上，得

x 21 9 + y 21 4 =1     ① x 22 9 + y 22 4 =1    ②

又∵P（2，1）是AB的中点，∴

x1+x2=4 y1+y2=2

．

由①-②得 

(x1+x2)(x1-x2)

9

+

(y1+y2)(y1-y2)

4

=0，

∴k=

y1-y2

x1-x2

=-

8

9

．

∴直线AB的方程为y-1=-

8

9

（x-2），即  8x+9y-25=0；

（2）．当原点O到直线AB的距离取最大值时 满足：OP⊥AB．

∵k_OP=

1

2

，∴k_AB=-2，

∴直线AB的方程为 y-1=-2（x-2），即  2x+y-5=0．

联立方程组 

2x+y-5=0 x2 9 + y2 4 =1

得 40x²-180x+189=0，

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则 

x1+x2= 9 2 x1x2= 189 40

，

∴|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

3

2

3

．

∴S_△AOB=

1

2

|OP||AB|=

3

4

15

．