已知等比数列{an}中，a2=2，a5=128．若bn=log2an，数列{bn

问题解答题

已知等比数列{a_n}中，a₂=2，a₅=128．若b_n=log₂a_n，数列{b_n}前n项的和为S_n．

（Ⅰ）若S_n=35，求n的值；

（Ⅱ）求不等式S_n＜2b_n的解集．

答案

（Ⅰ）∵a₂=a₁q=2，a₅=a₁q⁴=128得q³=64，

∴q=4，a₁=

∴a_n=a₁q^n-1=

×4n-1=2^2n-3，∴b_n=log₂a_n=log₂2^2n-3=2n-3

∵b_n+1-b_n=[2（n+1）-3]-（2n-3）=2

∴{b_n}是以b₁=-1为首项，2为公差数列；

∴S_n=

(-1+2n-3)n

=35，即n²-2n-35=0，可得（n-7）（n+5）=0，

即n=7；

（Ⅱ）∵S_n-b_n=n²-2n-（2n-3）=n²-4n+3＜0

∴3-

＜n＜3+

，∵n∈N⁺，

∴n=2，3，4，即所求不等式的解集为{2，3，4}；