问题
解答题
已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为
（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m的取值范围； （Ⅲ）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形． |
答案
（Ⅰ）设椭圆的方程为
+x2 a2
=1，y2 b2
∵椭圆的离心率为e=
，3 2
∴a2=4b2，
又∵M（4，1），
∴
+16 a2
=1，解得b2=5，a2=20，故椭圆方程为1 b2
+x2 20
=1．…（4分）y2 5
（Ⅱ）将y=x+m代入
+x2 20
=1并整理得y2 5
5x2+8mx+4m2-20=0，
∵直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B
∴△=（8m）2-20（4m2-20）＞0，解得-5＜m＜5．…（7分）
（Ⅲ）设直线MA，MB的斜率分别为k1和k2，只要证明k1+k2=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
根据（Ⅱ）中的方程，利用根与系数的关系得：x1+x2=-
，x1x2=8m 5
．4m2-20 5
k1+k2=
+y1-1 x1-4
=y2-1 x2-4 (y1-1)(x2-4)+(y2-1)(x1-4) (x1-4)(x2-4)
上式的分子=（x1+m-1）（x2-4）+（x2+m-1）（x1-4）
=2x1x2+（m-5）（x1+x2）-8（m-1）
=
-2(4m2-20) 5
-8(m-1)=08m(m-5) 5
所以k1+k2=0，得直线MA，MB的倾斜角互补
∴直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．…（12分）