在△PAB中，已知A（-6，0）、B（6，0），动点P满足|PA|=|PB|+4

问题解答题

在△PAB中，已知A（-

，0）、B（

，0），动点P满足|PA|=|PB|+4．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设M（-2，0），N（2，0），过点N作直线l垂直于AB，且l与直线MP交于点Q，试在x轴上确定一点T，使得PN⊥QT．

答案

（1）∵|PA|-|PB|=4＜|AB|，∴动点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支除去其与x轴的交点．

设双曲线方程为

=1．

由已知，得

2a=4

，解得

a=2

，∴b²=c²-a²=2．

∴动点P的轨迹方程为

=1(x＞2)．

（2）由题意，直线MP的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x=2．

设MP的方程为y=k（x+2）．

∵点Q是l与直线MP的交点，∴Q（2，4k）．设P（x₀，y₀）

由

y=k(x+2)

，整理得（1-2k²）x²-8k²x-（8k²+4）=0

则此方程必有两个不等实根x₁=-2，x₂=x₀＞2．

∴1-2k²≠0，且-2x₀=-

8k2+4

1-2k2

．

∴y0=k(x0+2)=

1-2k2

．∴P(

4k2+2

1-2k2

，

1-2k2

)．

设T（t，0），要使PN⊥QT，只需

•

=0．

由N（2，0），

=(-

8k2

1-2k2

，-

1-2k2

)，

=(t-2，-4k)．

∴

•

1-2k2

[8k2(t-2)-16k2]=0．

∵k≠0，∴t=4，此时

≠

，

≠

，∴所求T的坐标为（4，0）．