问题 解答题

数列{an}是公比大于1的等比数列,a2=6,S3=26.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成公差为dn的等差数列.设第n个等差数列的前n项和是An.求关于n的多项式g(n),使得An=g(n)dn对任意n∈N+恒成立;

(3)对于(2)中的数列d1,d2,d3,…,dn,…,这个数列中是否存在不同的三项dm,dk,dp(其中正整数m,k,p成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由.

答案

(1)设公比为q,由,a2=6,S3=26 可得

6
q
+6+6q=20,解得q=3,或 q=
1
3
,再由q>1可得q=3,∴a1=2,an=2×3n-1

(2)由等差数列的通项公式可得 2×3n=2×3n-1+(n+1)•dn,∴dn=

n-1
n+1

∴An=n 2×3n-1+

n(n-1)
2
n-1
n+1
=
4• n2n-1
n+1

∵An=g(n)dn对任意n∈N+恒成立,∴g(n)=n2

(3)对于(2)中的数列d1,d2,d3,…,dn,…,这个数列中若存在不同的三项dm,dk,dp(其中正整数m,k,p成等差数列)成等比数列,

则有 dk2=dm•dp,即 (

k-1
n+1
)2=
m-1
m+1
p-1
p+1
,再由 2k=mp,解得 m=k=p,

这与dm,dk,dp是不同的三项相矛盾,故不存在不同的三项dm,dk,dp(其中正整数m,k,p成等差数列)成等比数列.

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