问题
解答题
数列{an}是公比大于1的等比数列,a2=6,S3=26.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成公差为dn的等差数列.设第n个等差数列的前n项和是An.求关于n的多项式g(n),使得An=g(n)dn对任意n∈N+恒成立;
(3)对于(2)中的数列d1,d2,d3,…,dn,…,这个数列中是否存在不同的三项dm,dk,dp(其中正整数m,k,p成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由.
答案
(1)设公比为q,由,a2=6,S3=26 可得
+6+6q=20,解得q=3,或 q=6 q
,再由q>1可得q=3,∴a1=2,an=2×3n-1.1 3
(2)由等差数列的通项公式可得 2×3n=2×3n-1+(n+1)•dn,∴dn=
,4×3 n-1 n+1
∴An=n 2×3n-1+
•n(n-1) 2
=4×3 n-1 n+1
.4• n2•3 n-1 n+1
∵An=g(n)dn对任意n∈N+恒成立,∴g(n)=n2.
(3)对于(2)中的数列d1,d2,d3,…,dn,…,这个数列中若存在不同的三项dm,dk,dp(其中正整数m,k,p成等差数列)成等比数列,
则有 dk2=dm•dp,即 (
)2=4×3 k-1 n+1
•4×3 m-1 m+1
,再由 2k=mp,解得 m=k=p,4×3 p-1 p+1
这与dm,dk,dp是不同的三项相矛盾,故不存在不同的三项dm,dk,dp(其中正整数m,k,p成等差数列)成等比数列.