问题
解答题
已知两定点E(-
(Ⅰ)求曲线C的方程; (Ⅱ)若直线l交曲线C于A、B两点,且坐标原点O到直线l的距离为
|
答案
(Ⅰ)∵动点P满足
•PE
=0,∴点P的轨迹方程为x2+y2=2.PF
设M(x,y),依题意可得P(x,
y)2
代入P满足的方程可得x2+(
y)2=2,即曲线C:2
+y2=1.…(4分)x2 2
(Ⅱ)①若直线l垂直于x轴,此时|AB|=
. …(5分)3
②若直线l不垂直于x轴,设直线l的方程为y=kx+m,
则原点O到直线l的距离为
=|m| 1+k2
,整理可得2m2=1+k2.…(6分)2 2
由
消去y可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.y=kx+m
+y2=1x2 2
设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可得△>0,
则x1+x2=-
,x1x2=4km 1+2k2
.2(m2-1) 1+2k2
∴|AB|=
•1+k2
=2(x1+x2)2-4x1x2
•2
…(8分)(1+k2)(1+2k2-m2) 1+2k2
∵2m2=1+k2,
∴2(1+k2)(1+2k2-m2)=(1+k2)(2+4k2-2m2)=(1+k2)(1+3k2)≤(1+2k2)2,
等号当且仅当1+k2=1+3k2,即k=0时成立.
即2
•2
≤2,(1+k2)(1+2k2-m2) 1+2k2
所以k=0时,|AB|取得最大值2.
此时直线l的方程为y=±
.…(12分)2 2